Divergenz

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Divergenz

von lateinisch: divergere – auseinander streben
Englisch: divergence

Definition

Der Begriff Divergenz bedeutet in etwa „Auseinandergehen“ oder „Auseinanderstreben“. Das Adjektiv ist divergent. Divergenz kann verschiedene Bedeutungen haben:

  • In der Augenheilkunde bezeichnet man mit Divergenz den Augenstand nach temporal (Außenschielen).
  • In der Physik, speziell in der Optik, versteht man unter Divergenz ein Maß für die Richtungscharakteristik von Strahlenbündeln. Eine Zerstreuungslinse weitet aufgrund ihres konkaven Aufbaus Parallellichtbündel zu divergenten Bündeln auf.
  • In der Physiologie bezeichnet Divergenz das Übergreifen der Impulse eines Neurons auf mehrere weitere Neurone. Diese können wiederum weitere Neurone erregen.
  • In der Biologie, speziell der Evolutionsbiologie, bedeutet Divergenz die Auseinanderentwicklung von Merkmale zwischen unterschiedlichen Arten oder Populationen derselben Art. Divergenzen können dabei sowohl physiologischer (z.B. Anatomie) als auch verhaltensbiologischer Art (z.B. Balz- oder Nahrungsverhalten) sein. Entwickeln sich durch diese Unterschiede verschiedene Spezies aus einem gemeinsamen Vorfahren, spricht man von konvergenter Evolution.

Das Gegenteil von Divergenz ist Konvergenz.

Divergenz

Das Substantiv Divergenz meint das „Auseinandergehen, Abweichen, Auseinanderstreben“ von bestehenden Differenzen bzw. Unterschieden. Die Unterschiede wachsen also über die Zeit.

Unglaublich oft wird der Begriff synonym zu Differenz verwendet. Korrekt ist das eigentlich nicht. Eine Differenz ist ein Unterschied. Eine Divergenz ist ein zunehmender Unterschied.

Dementsprechend sollte auch nicht von zu- oder abnehmenden Divergenzen gesprochen werden. Ausnahme: Es soll ausgedrückt werden, dass Differenzen schneller (zunehmende Divergenz) oder langsamer (abnehmende Divergenz) wachsen.

Das Gegenwort ist die Konvergenz: Die Abnahme von Unterschieden über die Zeit.

Das Wort wurde im 18. Jahrhundert aus dem lateinischen divergere (in verschiedene Richtungen auseinandergehen, sich auseinanderneigen) entlehnt.

Aussprache

Hörbeispiel: Aussprache anhören
Lautschrift (IPA): [divɛʁˈɡɛnt͡s]

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Verwendungsbeispiele

Die Divergenz zwischen Armen und Reichen ist beträchtlich. Die Armen werden immer ärmer, die Reichen immer reicher.

Zwischen seinen Versprechen und deren Einlösung besteht eine Divergenz. Er verspricht immer mehr, setzt aber immer weniger um.

Mit jedem Zuwachs an Divergenz und Vielfalt der sozialen und wirtschaftlichen Interessen, der Nationalsprachen und -kulturen, der geschichtlich geprägten Identitäten wächst auch das Risiko verschärfter Konflikte. Deshalb ist die fortschreitende Erweiterung der EU in der Vergangenheit von Schritten zu einer vertieften Integration immer wieder begleitet worden.
– Jürgen Habermas (2007), Erste Hilfe für Europa, DIE ZEIT, 29.11.2007 Nr. 49.

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Weitere interessante Wörter:

divergieren – Das Verb divergieren bedeutet „auseinanderstreben“ oder „von etwas abweichen“.

Differenz – Das Substantiv Differenz bezeichnet allgemein einen Unterschied zwischen.

Konvergenz – Das Substantiv Konvergenz beschreibt bildungssprachlich eine „Annäherung“.

Kausalität – Das Substantiv Kausalität bezeichnet im allgemeinen Sprachgebrauch und.

Normativ – Das bildungssprachliche Adjektiv normativ meint, dass etwas als Maßstab.

Grenzwert: Konvergenz und Divergenz – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

In diesem Kapitel wird das Konzept des Grenzwerts (auch Limes genannt) bzw. der Konvergenz einer Folge eingeführt. Da Begriffe wie Stetigkeit, Ableitung und Integral mithilfe des Grenzwertbegriffes definiert werden, ist der Grenzwert sehr wichtig. Er bildet damit das Rückgrat der Analysis.

Inhaltsverzeichnis

Um eine mathematische Definition des Grenzwerts zu finden, sollten wir zunächst eine intuitive Idee für diesen Begriff bekommen. Schauen wir uns dafür die harmonische Folge ( 1 n ) n ∈ N <\displaystyle \left(<\tfrac <1>>\right)_ >> an. Sie hat die Folgenglieder

Diese nähern sich von oben immer mehr der Null an und man kann intuitiv sagen:

Alle diese Erklärungen beschreiben intuitiv, was wir in der Analysis den Grenzwert einer Folge nennen. In diesem Fall ist 0 <\displaystyle 0>der Grenzwert der harmonischen Folge ( 1 n ) n ∈ N <\displaystyle \left(<\tfrac <1>>\right)_ >> .

Erste Schritte Bearbeiten

Um als Mathematiker mit dem Begriff des Grenzwerts arbeiten zu können, brauchen wir eine klare und exakte Definition. Diese können wir finden, indem wir mit einer intuitiven Idee starten und diese so lange konkretisieren, bis wir eine exakte mathematische Definition haben. Die Konkretisierung erfolgt so lange, bis wir eine Formulierung finden, die nur noch bereits definierte Begriffe enthält. Fangen wir mit der folgenden intuitiven Beschreibung des Grenzwerts an:

Nun ist der Punkt, der nicht mehr in den dünneren Schlauch passt, weiter rechts als im vorherigen Bild. Das neue erste Folgenglied im Schlauch nennen wir a N 1 <\displaystyle <\color a_>>> . Alle Folgenglieder mit einem Index größer gleich N 1 <\displaystyle N_<1>> liegen in dem dünneren Schlauch.

In jeder Umgebung um den Grenzwert liegen fast alle Folgenglieder Bearbeiten

Was ist eine Umgebung einer Zahl? Bearbeiten

Wir behaupten: Eine Umgebung ist intuitiv gesprochen eine Menge von Zahlen, welche die Zahl a <\displaystyle a>umschließt.

Man nennt dieses Intervall auch , die so aussieht:

Was bedeutet „fast alle“? Bearbeiten

Verfeinerung der mathematischen Definition Bearbeiten

Insgesamt können wir definieren:

Obige Aussage könnten wir als mathematische Definition des Grenzwerts verwenden. Jedoch ist es sinnvoll, diese Definition noch weiter zu formalisieren.

Den Teil „es gibt ein Folgenglied, ab dem gilt …“ können wir umformulieren zu „es gibt eine natürliche Zahl N <\displaystyle N>, so dass für alle a n <\displaystyle a_> mit n ≥ N <\displaystyle n\geq N>gilt …“. Somit:

Dies ist dann auch die mathematische Definition des Grenzwerts.

Kommentiert lautet die prädikatenlogische Definition des Grenzwerts:

Es folgen einige Definitionen im Zusammenhang mit dem Grenzwert:

Frage: Wie lautet die Aussage in Prädikatenlogik dafür, dass eine Folge ( a n ) n ∈ N <\displaystyle (a_)_ >> konvergiert?

Wenn man nur die Konvergenz haben will, dann ist die Aussage entsprechend:

Frage: Wie lautet die Aussage in Prädikatenlogik dafür, dass eine Folge ( a n ) n ∈ N <\displaystyle (a_)_ >> divergiert?

Hierzu muss obige gefundene Aussage negiert werden. Wie man das macht, steht im Abschnitt „Aussagen negieren“ aus dem Buch „Grundlagen der Mathematik“. Es werden dabei All- zu Existenzquantoren und umgekehrt. Die negierte Aussage lautet:

Im Studium begegnet man hin und wieder der Fehlvorstellung „Eine Folge divergiert genau dann, wenn sie unbeschränkt ist.“ Diese Aussage ist falsch!

Zwar ist jede unbeschränkte Folge divergent (siehe hierzu das Kapitel „Unbeschränkte Folgen divergieren“), aber nicht jede divergente Folge muss zwangsläufig unbeschränkt sein. Ein Beispiel hierfür ist die Folge ( ( − 1 ) n ) n ∈ N = ( − 1 , 1 , − 1 , 1 , − 1 , 1 , … ) <\displaystyle \left((-1)^\right)_ >=(-1,1,-1,1,-1,1,\ldots )> , welche beschränkt und divergent ist.

Diese Interpretation kann auch durch die Wahl der Variablen gestützt werden. Augustin-Louis Cauchy, auf den obige Definition zurückgeht [1] , könnte mit ϵ <\displaystyle \epsilon >das französische Wort „erreur“ für „Fehler“ gemeint haben [2] .

Satz (Eindeutigkeit des Grenzwerts)

Jede konvergente Folge besitzt nur einen einzigen Grenzwert.

Wie kommt man auf den Beweis? (Eindeutigkeit des Grenzwerts)

Den Satz werden wir indirekt über einen Widerspruchsbeweis zeigen. Hierzu gehen wir davon aus, dass es eine konvergente Folge ( a n ) n ∈ N <\displaystyle \left(a_\right)_ >> mit zwei verschiedenen Grenzwerten gibt. Diese Annahme müssen wir nun zum Widerspruch führen.

Beweis (Eindeutigkeit des Grenzwerts)

Einzelnachweise

  1. ↑ siehe w:Augustin-Louis Cauchy#Professor an der École polytechnique
  2. ↑ siehe http://web.archive.org/web/20200302094052/http://matheguru.com/analysis/24-grenzwerte.html

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